线性空间和线性变换

1 线性空间

1.1 数域

定义：在代数系统中，数域是一个集合，该集合中任取两个元素进行加减乘除运算后，得到的结果仍在该集合中（封闭性）。常见的数域包括有理数域、实数域、复数域等等。

1.2 线性空间

线性空间是线性代数最基本的概念，我们考虑的数域为实数域和复数域，统称数域。

定义：设是一个非空集合，是数域，在集合的元素之间定义了加法运算，即对于中任意两个元素和，在中都有唯一的元素与它们相对应，称之为和的和，记做：，并且加法运算满足下面的四条法则：
交换律，
结合律，
零元素，在中有一个元素0（并不一定是数0），对中任意元素都有
负元素，对于每个元素都有中的元素使得
在中的元素与数域中的数之间定义了一种运算，叫做数乘运算。即对于中任意元素与数域中任意数，在中有唯一的元素与它们对应，称为与的数乘，记做：，且数乘满足下面的四条法则：
称满足以上八条运算性质的集合为数域上的线性空间。

举几个线性空间的例子。

例1

阶实方阵集合由线性代数知识可知矩阵具有加法运算和数乘矩阵运算。对于矩阵加法运算，满足交换律和结合律；集合中存在零矩阵（），满足；对于中的任意一个矩阵，都有对应的负矩阵，满足，这里的是零矩阵。

根据线性代数知识可知，对于矩阵的数乘，满足：

因此它满足八条性质，构成实数域上的线性空间。

例2

元实向量集合由线性代数知识可知，向量具有加法和数乘运算，同理也满足八条性质，构成实数域上的线性空间。

例3

设 $次数小于的变量的实系数多项式集合$ 。中的两个多项式和的加法与普通的多项式加法一样，数乘多项式与普通多项式的数乘一样，可以验证加法满足四条性质：

交换律，
结合律，
存在零多项式，满足
对于中的任何一个多项式，都有对应的负多项式，满足

数乘满足四条性质：

满足线性空间的八条性质。

例4

设为实数（或复数）矩阵，易证齐次线性方程组的所有解（包括零解）的集合构成实数域（或复数域）上的线性空间。这个空间为方程组的解空间，也称为矩阵的核空间（零空间），常用表示。

可以看出，这些线性空间所涉及的对象并不相同，但都满足共同的八条运算性质，因此可以用线性空间来统一描述和研究。

线性空间的性质

设是线性空间，可以推导出下面的一些性质：

中的零元素唯一。
证明：设是的两个零元素，根据线性空间加法第三条定义有：，根据交换律，，又因为，因此得到。
中的每个元素的负元素唯一。
证明：假设都是的负元素，则：因此，。
对中的每个元素，都有。
证明：，等式两边加上，得利用结合律和加法运算的负元素规则，可得：
对数域中的任意数，都有。
证明：，等式两边加上，得：。
如果，那么或。
证明：假设，则。
对中的每个元素，都有。
证明：，因此。

1.3 线性空间中的向量

定义：线性空间中的元素称为向量，可见这里的向量要比线性代数中的“向量”含义更加广泛。

1.4 向量的线性相关与线性无关

线性表出（示）定义：集合为数域上的线性空间，是中一组向量，是数域中的一组数，若向量可以表示成则称向量可由线性表出（示）。

线性代数中的线性相关与线性无关也可以引入线性空间中。

线性相关与线性无关定义：是中一组向量，如果在数域中有个不全为零的数，使得：则称线性相关，如果只存在，则称线性无关。
一组向量要么线性相关，要么线性无关。

线性代数中的极大线性无关组、向量组的秩等概念也可以自然地引入线性空间中，不再赘述。

2 基与坐标，坐标变换

2.1 基、维数、坐标

定义：数域上的线性空间中有个线性无关的向量，而且中的任何一个向量都可以由线性表出则称为的一个基，为在基下的坐标。并称为维线性空间，记为：。只有零向量的线性空间的基规定为，维数为0。

显然，在基下的坐标为，且对于中的任何一个向量在基下的坐标表示是唯一的（这是由于线性表出方法唯一），因此可以写作：可以看出有这样的规则： $抽象向量基矩阵坐标向量$ 。

例1

在中，求向量在基下的坐标。

解：根据 $抽象向量基矩阵坐标向量$ ，设所求坐标为，有：可以看做自变量为的非齐次线性方程组，解方程组即可求解。另外一种方法，由于为一组基，因此构成的矩阵可逆，因此两边通左乘，得到：

所以在所给基下的坐标为。

2.2 基变换与坐标变换

维线性空间的基不是唯一的，同样的向量在不同基下的坐标表示也不同，它们之间可以进行变换。

设和是中的两组基，它们之间显然有下面的关系：即：对于任意一个，都可由线性表出，因此我们可以得到个这样的关系式，将它们写成矩阵形式：将这个阶矩阵记做：是由基到基的过渡矩阵，简单地表示为如下：这说明，在线性空间中，如果为基，为另一个基，则与之间一定可以相互表示，即，其中为过渡矩阵，也称为基变换矩阵。显然一定可逆，因此反过来从到，则有，这就是线性空间中的基变换公式。

下面推导线性空间中任意一个向量在不同基下坐标之间的关系。设为线性空间中的任意一个向量，若它在基与基下的坐标分别为和，即满足下列等式：根据基变换公式（1），代入上式的等号右端，得到：由于基一定是线性无关的，因此构成的矩阵可逆，两边同时左乘，消去后得到：这就是坐标变换公式。我们设为在向量基下的坐标，为向量在基下的坐标，可得到，其中为基变换公式中的过渡矩阵。可以发现无论是基变换还是坐标变换，过渡矩阵都是，区别在于在基变换中过渡矩阵是右乘，在坐标变换中是左乘。

反过来也可以得到：

例1

在中，求基到基的基变换矩阵，并求向量在下的坐标。

解：根据基变换公式，可以写出如下关系式，，其中为矩阵，为矩阵，为基变换矩阵。显然它们都是可逆矩阵，因此有。只需要求出即可，这里根据线性代数知识可知，求它的逆矩阵，可以对增广矩阵做初等行变换，将左半部分变为单位阵后，右半部分即为。即：这里求出还需要乘以矩阵才能得到结果，我们可以直接对增广矩阵做初等行变换，此时左半部分变为时，右半部分直接求得，即：经过计算，求出过渡矩阵为：设在下的坐标为，由于这里的坐标是相对于标准基下而言的，也就是，因此有：于是向量在下的坐标为：

3 线性子空间

3.1 线性子空间的概念

在平面几何空间中，过原点的共线向量构成的集合，按照几何向量的加法（平行四边形法则和三角形法则）和数乘运算构成一个线性空间。类似地，三维几何空间中，过原点的共面向量集也可以构成一个线性空间，这些空间都可以看成是三维几何空间的子空间，将这个定义引入维线性空间中，可以引入子空间的概念。

定义：设为数域上的维线性空间的子集合，若中的元素满足：
，有
，有
则容易证明，也满足线性空间的八条性质，构成数域上的线性空间，称是线性空间的一个线性子空间，简称子空间。

可以看出，子空间的加法和数乘运算是封闭的。子空间不可能有比更多的线性无关的向量，因此子空间的维数不可能超过的维数，即：。

例1

在线性空间中，由一个零向量“0”构成的集合是一个线性子空间，称为的零子空间；在线性空间中，本身也可以看成是一个线性子空间。这两个子空间称为的平凡子空间，我们后面的讨论不包括它们，也就是我们仅讨论非平凡的子空间。

例2

设是线性空间中的一组向量，则不难证明，集合：是非空集合，且该集合构成的一个线性子空间，我们称之为向量生成的生成子空间，记做：。

根据线性代数知识和线性子空间的概念，有下列两个定理。

，即生成子空间的维数等于构成该子空间的向量组的秩，向量组的任何一个极大线性无关组均可作为的一个基。
若和都是维向量组，则是与等价的充要条件，也就是与可以相互线性表出。（可以根据子空间的运算封闭来证明）

3.2 子空间的交与和

交空间定义：设是线性空间的两个子空间，命可以验证，构成的线性子空间，我们称之为与的交空间。
和空间定义：设是线性空间的两个子空间，命可以验证，构成的线性子空间，我们称之为与的和空间。

这里需要补充的是，类比集合的交并，为什么没有并空间？也就是：根据子空间的定义可知，子空间必须满足对加法和数乘封闭。我们可以很轻松地举出反例，考虑三维几何空间的两个子空间和分别为平面和轴，此时所构成的向量集合中，我们取中的一个非零向量和轴上的非零向量，显然，不满足子空间定义中的第一条性质，因此两个空间的“并”，不是的线性子空间。

结合生成子空间的知识，有下面的定理：

设，，则即：与的和空间等于生成的生成子空间。

3.3 维数公式

设与是线性空间的两个子空间，则：证明：

设，取的基：它可以扩充成的一组基（扩充就是在原来的基础上添加向量）：也可以扩充成的一组基：也就是：所以得到：下面考察的线性相关性，设可以设，可以发现可以写成的线性组合形式，因此，同理也可以写成的线性组合的形式，因此，于是，因此也一定可以由的基线性表出，设：因此有下列等式成立：即：由于是的基，因此线性无关，系数全部为零，所以，得到：由于是的基，因此线性无关，系数全部为零。

这样原方程：只有零解，这就证明了线性无关，因此它是的一个基，的维数，原命题得证。

3.4 子空间的直和、补子空间

直和定义：设与是线性空间的两个子空间，若中每个向量都能唯一地表示成，则称和空间是直和，并用记号表示。

设与是线性空间的两个子空间，则下列命题是等价的：

是直和
是的一个基，是的一个基，则是的一个基
中零向量的表示方法唯一
设集合是的一个基，是的一个基，是的一个基

证明：

显然，。

首先证，设，则，由于生成子空间的维数等于构成该子空间的向量组的秩，因此，因此线性无关，所以它构成的一个基。

，因为构成的一个基，故：于是，根据维数公式，得到，于是成立，是直和。

，根据定义，中的零向量一定可以唯一地表示成。并且，这里一定有。

，任取，则且，根据子空间定义，负元，有，由于中零向量的表示方法唯一，因此，从而中每个向量均为零向量，即：。

，设，根据直和定义，任取，假设其有两种表示方法：则，移项得，左边，右边。从而，根据已知条件，，则，因此，表示方法唯一。

至此成立。

，设的一个基为的一个基为则，设第一个部分的向量属于，第二个部分的向量属于，由于中零向量的表示方法唯一，因此由于基向量线性无关，因此，因此线性无关。

下面任取中的任意向量，则一定可以由线性表出，一定可以由线性表出，于是可以由线性表出，因此它是的一个基。

，设，由于是的一个基，是的一个基，因此于是：由于是的基，因此于是，因此中零向量的表示方法唯一。

从而，成立。

补子空间定义：设是线性空间的三个子空间，且，则称有一个直和分解。特别地，若，则称和是线性空间的一对互补的子空间，或称是的代数补（或是的代数补）。

设是线性空间的一个子空间，则一定存在的代数补子空间使得。

子空间的代数补不是唯一的，考虑三维几何线性空间，若，，显然是的一个子空间，可以很容易地找出不在平面上的向量和，则和就是的两个不同代数补。

4 映射、线性映射

4.1 映射的概念

定义：设和是两个集合，集合到集合的映射是指一个法则，它使中的每一个元素都有中一个唯一确定的元素与之对应，如果映射使元素与元素对应，那么就记为称为在映射下的像，称为在映射下的一个原像。到自身构成的映射，称之为到自身的变换。

集合到集合的两个映射和，若对中的每个元素，都有，则称它们相等，记作。

如果集合的映射对中的每个元素，都有，即把每个元素映射到它自身，称为集合的恒等映射或单位映射，记为，在不引起混淆的情况下也可以简写为。

4.2 单射、双射、满射

设是集合到的一个映射，通常也将映射记为我们将叫做映射的定义域，叫做的陪域。我们用代表在映射下像的全体，则称为值域（像），也记做。可以看出，的值域是的陪域的子集。

如果，即陪域等于值域时，称是满射，可以看出，是满射当且仅当的陪域中每一个元素都有至少一个原像。

如果映射的定义域中不同的元素的像也不同，则称是单射，根据这个定义得，是单射当且仅当从且可以推出。

如果既是满射，又是单射，那么称是双射或从到的一个一一对应，显然，是双射当且仅当陪域中每一个元素都有唯一的一个原像。

集合到数集的一个映射，通常称为上的一个函数，可以看出函数是一种特殊的映射。

4.3 映射的乘法、可逆映射

相继施行映射和，得到到的一个映射，称为与的乘积（合成），记做，顺序是先做再做。

映射的乘法满足结合律，即。但不满足交换律。对于任意一个映射，都有，即乘以单位映射等于自身。

设，如果存在一个映射，使得那么称映射是可逆的，为的一个逆映射，记做。如果存在逆映射，则逆映射是唯一的。

4.4 线性映射

定义：设与是数域上的两个线性空间，到的一个映射，如果对于定义域中的任意两个向量和中的任何数，都有则称是由到的线性映射。如果映射为双射，则称为同构映射，称同构。
线性空间到自身的线性映射称为上的线性变换。线性映射中的恒等映射也可以用字母或字母表示。

数域上的线性映射，设为中的任意向量，线性映射具有如下性质：

，其中是中的零向量
若线性相关，则也线性相关。

4.5 线性映射的矩阵表示

设是的一个基，是的一个基，，我们知道，，于是可以被基表示，于是有或者可以写成：设这个的矩阵为，得到称矩阵为线性映射在基与基下的矩阵表示。

可以看出，矩阵的第列就是在下的基下的坐标，下面我们来推导向量在线性映射下的像的坐标。

设，故它可以由基线性表出，设的坐标为：它的像，可以写为：根据线性映射的矩阵表示，得根据坐标的唯一性，写成矩阵形式为上式称为线性映射在给定的基与的基下向量的坐标变换公式。可以看出，根据这个公式，设中的向量在下的坐标为，则等价于。

线性映射在给定基下的矩阵表示是唯一的，它的逆命题也成立，即：给定基下的任意矩阵对应唯一的线性映射。换句话说，基确定以后，映射和矩阵表示是一一对应的。

在指定了线性空间和的基之后，便可以求得线性映射在指定一对基下的矩阵表示，但是线性空间的基并不唯一，因此，很自然地要考虑两个问题：

线性映射在不同基下的矩阵表示之间的关系是什么？
对于一个线性映射，能否选择一对基，使它的矩阵表示最简单？

我们下面来探讨这两个问题。

4.6 线性映射在不同基下的矩阵表示之间的关系

设线性映射，有和是的两组基，有和是的两组基，并且：

由到的过渡矩阵为，由到的过渡矩阵为；
线性映射在基和下的矩阵表示为，在基和下的矩阵表示为；

则有如下关系成立：